Вишнякова Е.А, Трофимов А.А.
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС: МАТЕМАТИКА И ЭКОНОМИКА *
Аннотация:
в данной работе представлены результаты авторского анализа влияния санкций на бизнес в Российской Федерации. В работе рассмотрена взаимосвязь математики и экономики через призму Санкт-Петербургского парадокса, дана характеристика парадокса и описание его применения в финансовых моделях.
Ключевые слова:
Санкт-Петербургский парадокс, математическое ожидание, теория вероятностей, полезность, стоимость
DOI 10.24412/2712-8849-2024-776-483-489
Теория вероятностей - это раздел в математике, который изучает случайные события и величины, а также операции над ними. Каждый день люди используют ее, чтобы проанализировать, что более успешно, полезно и прибыльно, а что - нет. Однако, несмотря на широкий спектр применения этой дисциплины, существует множество парадоксов, нарушающих законы математики. Одним из самых интересных и актуальных парадоксов является Санкт-Петербургский, который иллюстрирует расхождение между теоретически оптимальным поведением игрока и «здравым смыслом».Санкт-Петербургский парадокс остается важным для рассмотрения, так как применяется в различных областях науки и бизнеса, например, для стратегий ценообразования и оценки рисков и вероятностей, без чего компании не смогли бы существовать.Объектом исследования является Санкт-Петербургский парадокс, как математический и экономический феномен. В первом случае задача уникальна тем, что она представляет собой первый пример случайной величины с бесконечным математическим ожиданием. Со второй стороны она является «предшественником» теорий ожидаемой полезности. Предмет исследования: вероятностные и экономические аспекты.Задача была сформулирована в терминах бросков кости Николаем Бернулли 9 сентября 1973 года в письме Пьеру Ремону де Монмору. Задача была поставлена следующим образом: существует игра, когда участник бросает монету до тех пор, пока не выпадет «решка». Выигрыш составляет 1 денежную единицу за первый выпавший «орел», 2 за второй, 4 за третий, и так далее, удваиваясь с каждым последующим выпавшим «орлом».Главный ставящийся вопрос: какую сумму следует заплатить за участие в этой игре, учитывая возможность неограниченного увеличения выигрыша? Изначально под “ценой игры” понимали математическое ожидание. Следует отметить, что математическое ожидание - итог или результат, который мы ожидаем получить после выполнения какого-либо действия.Бесконечное математическое ожидание:?[?] = ?=1?=?=1?2?1?2?=?=1?12=?Идея бесконечного финансирования представляется непрактичной и неосуществимой в контексте реальной жизни, именно поэтому термин «парадокс» используется в задачах.Таблица 1. Схема парадокса.Если мы используем математическое ожидание в качестве критерия принятия решений, игрок должен быть готов заплатить бесконечную сумму денег, чтобы сыграть. Однако ни один рациональный человек не согласился бы на это. Для Бернулли ответ заключался в использовании максимальной ожидаемой полезности вместо максимального математического ожидания.?=?+(1?)?(?) Кроме того, Бернулли подчеркивал, что с ростом богатства игрока (ввиду наличия большего объема средств для игры) его или ее полезность увеличивается, в то время как предельная полезность постепенно уменьшается.Рисунок 1. Графики в общем виде взаимосвязи полезности и стоимости.Позже Д. Бернулли в качестве альтернативного выхода предложил использовать логарифмическую функцию и заменить значение выигрыша на понятие полезности, что сделало эквивалентную сумму конечной.lnхв=к=1?ln(?к)?к=к=1?к?12к=ln2 Получим конечную эквивалентную сумму, меньшую бесконечности.Решение Бернулли по парадоксу, хотя и простое и краткое, позднее было подвергнуто критике. Кнут Викселль – шведский экономист - использовал решение для развития межличностных сравнений, в то время как Фрэнсис И. Эджворт – ирландский британский экономист - критиковал его логарифмическую функцию полезности. Вильфредо Парето – итальянский экономист и инженер - заменил в своем анализе парадокса богатство на потребление, а Альфред Маршалл заменил его на доход.Анализ Альфреда Маршалла, приведенный в его книге «Принципы экономики» 1890 года, представляет большой интерес, поскольку, заменив богатство на доход, он меняет основные выводы и решение парадокса. Маршалл объясняет, что при предположении о снижающейся предельной полезности ни один разумный человек не будет играть в игру, поскольку потери будут превышать выигрыши. В качестве примера, приведенного на графике, допустим, вероятность выигрыша в игре равна вероятности проигрыша, следовательно, ?. Если игрок проигрывает, он или она потеряет деньги, заплаченные за игру (x-1), если он или она выигрывает, игрок получит ровно столько, сколько заплатил (x+1). Поскольку площадь A больше B из-за снижающейся предельной полезности, ни один разумный игрок не будет играть.Рисунок 2. График зависимости предельной полезности и доходапо А. Маршаллу.Появление Санкт-Петербургского парадокса 300 лет назад в области теории вероятностей оказало огромное влияние на развитие нескольких научных дисциплин, в частности, экономической теории. Несмотря на то что многие исследователи не всегда осознавали экономическую значимость этой проблемы, их работы стали основой для ключевых концепций микроэкономической теории.Этот парадокс стал отправной точкой для развития таких концепций, как принцип убывающей предельной полезности и использование ожидаемой полезности в условиях неопределенности для принятия решений. Он также сыграл важную роль в формировании основ микроэкономики страхования и управления рисками.Популярность Санкт-Петербургского парадокса привела к тому, что его стали использовать (иногда не всегда обоснованно) для поддержки некоторых современных подходов к финансовому моделированию. Однако важно отметить, что даже несмотря на возможное применение в современных финансовых моделях, этот парадокс продолжает оставаться фундаментальной проблемой теории вероятностей и экономической теории.
Номер журнала Вестник науки №7 (76) том 2
Ссылка для цитирования:
Вишнякова Е.А, Трофимов А.А. САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС: МАТЕМАТИКА И ЭКОНОМИКА // Вестник науки №7 (76) том 2. С. 483 - 489. 2024 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/16814 (дата обращения: 09.09.2024 г.)
Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2024. 16+