Васильев Ю.Н.
ОБЩЕЕ ДЛЯ «ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ», СОВЕРШЕННЫХ, БОКОВЫХ ЧИСЕЛ И УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ *
Аннотация:
используя соотношение между коэффициентами многочлена и его корнями, можно через элементы последовательности построенной в зависимости от коэффициентов этого многочлена получить корни данного многочлена по общей формуле для числовых последовательностей, таких как Фибоначчи, совершенных, боковых чисел и других, а так же выявить корреляцию между последовательностями
Ключевые слова:
последовательность, дискриминант, предел, корень, уравнение, многочлен, коэффициент, числа
Теорема 1. Пусть Р (х)=хm+a1x m-1+a2x m-2+...+am-1x+am (m>1) (1) данный многочлен над полем действительных чисел, {Вn} (n=1,2,...)-последовательность, элементы которой определены рекуррентной формулой: Вi=1 (i=0, 1, ... , m-1) Bn=-a1Bn-1-a2Bn-2-...-am-1Bn-(m-1)-amBn-m, тогда, если с1, с2, ...сm-1, cm действительные корни многочлена (1) такие, что |с1|>|с2|>...>|сm-1|>cm|, то Limn->∞(Bn+a1Bn-1+...+(-1)m-1 am-1Bn-(m-1))/(Bn-1+a1Bn-2+...+(-1)m-1 am-1Bn-m)=ci (i=0, 1, ... , m-1) где (-а1)=с1+с2+...+сm-2+cm-1, a2=c1c2+c2c3+...cm-2cm-1 ............................................ (-1)m-1 am-1=c1c2c3...cm-2cm-1. Квадратные уравнения. Пусть элементы последовательности {Nn} связаны формулой Nn=-d1Nn-1-d2Nn-2, n>1 где N0=0, N1=1, d0=1, a коэффициенты d1, d2 взяты из квадратного уравнения х 2+d1x+d2=0 (*) тогда элементы последовательности {Nn} можно получить по формуле: Nn=(x1 n -x2 n )/(x1-x2) (2) где х1, х2 корни квадратного уравнения (*) Для удобства заменим коэффициенты -d1, -d2 на а и d. Тогда формула и квадратное уравнение будут выглядеть так: Nn=aNn-1+dNn-2 (3) x 2=ax+d (4) Запишем формулу (2) через коэффициенты а и b, где b - дискриминант квадратного уравнения (4) то есть b2=a2+4d, тогда х1=(а+b)/2, x2=(a-b)/2, b2 -a 2=4d, [(a+b)/2][(b-a)/2]=d (5) Nn=[(a+b)n -(a-b)n ]/2nb (2.1) Вычислим первые элементы последовательности {N} образованной по формуле (2), где (х1+х2)=а, х1х2=-d, (x1-x2)=b N1=(x1 1 -x2 1 )/(x1-x2)=1, N1=1 (6) N2=(x1 2 -x2 2 /(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2)/(x1-x2)=x1+x2=a, N2=a (7) Докажем, что из формулы (3) можно получить формулу (2). Если Nn=aNn-1+dNn2, где а=(х1+х2), (-d)=(x1x2), тогда N2=(x1+x2)N1 N3=(x1+x2)N2-x1x2N1 подставим N2 в N3, получим N3=x1 2+x1x2+x2 2 Подставим N2 и N3 в N4, получим N4=x1 3+x1 2x2+x1x2 2+x2 3 Предположим, что Nn=(x1 n-1+x1 n-2x2+x1 n-3x2 2+...+x1 2x2 n-3+x1x2 n-2+x2 n-1 ), a Nn-1=(x1 n-2+x1 n-3x2+x1 n-4x2 2+...+x1 2x2 n-4+x1x2 n-3+x2 n-2 ), тогда Nn+1=aNn+dNn-1, Nn+1=(x1+x2)(x1 n-1+x1 n-2x2+x1 n-3x2 2+...+x1 2x2 n-3+x1x2 n-2+x2 n-1 )-x1x2 × ×(x1 n-2+x1 n3x2+x1 n-4x2 2+...+x1 2x2 n-4+x1x2 n-3+x2 n-2 )=(x1 n+x1 n-1x2+x1 n-2x2 2+...+ +x1 2x2 n-2+x1x2 n-1+x2 n )
Номер журнала Вестник науки №7 (16) том 3
Ссылка для цитирования:
Васильев Ю.Н. ОБЩЕЕ ДЛЯ «ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ», СОВЕРШЕННЫХ, БОКОВЫХ ЧИСЕЛ И УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ // Вестник науки №7 (16) том 3. С. 44 - 52. 2019 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/1959 (дата обращения: 27.04.2024 г.)
Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2019. 16+