Макеев Н.Н.
МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ И РЕЗОНАНС В СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ *
Аннотация:
рассматривается стационарное движение сложной механической системы, при котором её телоноситель вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижного полюса. Предполагается, что апекс вектора кинетического момента системы совершает малые движения в окрестности стационарного состояния системы, находящейся в резонансном режиме. Получено резонансное соотношение и условие существования нулевого собственного значения матрицы линейной части динамической системы механического объекта. Приводится геометрическая интерпретация резонансного состояния системы в пространстве её квазикоординат.
Ключевые слова:
сложная механическая система, динамическая модель системы, стационарное движение, малые движения, резонанс
DOI 10.24412/2712-8849-2024-1281-1603-1610
Рассматривается движение объекта, называемого сложной механической системой (СМС). Величина массы СМС и её конфигурация непрерывно изменяются во времени вследствие переноса тел её присоединённой подсистемы (рабочего тела) внутри объекта и (или) их выноса за его пределы. Вследствие этого СМС является структурно изменяемым механическим объектом переменного состава массы и изменяемой во времени конфигурации [1]. Предполагается, что СМС движется так, что её телоноситель (абсолютно твёрдое тело) вращается вокруг неподвижного полюса О под действием программно заданного результирующего момента реактивных сил L (t) Введем правые координатные ортобазисы с общим началом в полюсе О: неподвижный базис, неизменно связанный с носителем системы, и базис , оси которого для каждого момента времени направлены по главным в полюсе О осям тензора инерции СМС с матрицей В силу непрерывного по изменения конфигурации и состава массы СМС базис в общем случае вращается относительно с угловой скоростью, зависимость которой от величин заданных компонент Aj (t) тензора инерции СМС J (t) известна [2].Таким образом, непрерывные и непрерывно дифференцируемые зависимости вида ωr (t), J (t), отнесённые к базису Γ3, считаются программно заданными и, следовательно, известными в любой момент времени.Обозначим [1]:где – абсолютные угловые скорости носителя СМС (базиса) и базиса, – кинетические моменты относительно полюса О всего объекта и рабочего тела, соответственно (последний − относительно базиса), λ (λj) − эффективная угловая скорость носителя как непрерывная функция времени, − главные осевые моменты инерции СМС (диагональные элементы матрицы тензора инерции J), определённые для каждого момента времени в осях базиса. Заданные векторпараметры Gr (Grj) являются управляющими, каждый из них определён для соответствующей временн`ой программой.Пусть − орт, неизменно связанный с ортобазисом. Движение СМС при данных предпосылках характеризуется неавтономной эволюционной динамической системой [1]:В проекциях на оси базиса уравнение (1) эквивалентно системе:Приведённые выше соотношения составляют динамическую модель СМС.Уравнения (2) образуют нелинейную многопараметрическую систему эволюционного типа с квадратичной нелинейностью. Предполагается, что СМС, характеризуемая уравнениями (2), находится в состоянии, при котором её телоноситель совершает перманентное движение:в силу чего для механической системы имеем:Тогда, согласно соотношениям (2)–(4), движение СМС определяется системой уравнений для вектора идентичной системе (2).Рассмотрим малые движения апекса вектора G, определяемого равенством (4), гипотетически происходящие в окрестности данного состояния. Эти движения являются малыми отклонениями (вариациями), выражающимися ограниченными функциями класса C1. В силу этого имеем:Здесь символ (1, 2, 3) обозначает циклическую перестановку данных индексов, применяемую для определения остальных уравнений системы по данным уравнениям представителям. Далее индекс ٭ при величинах Gj опускается.Согласно равенствам (5) система уравнений (2), представленная в вариациях wj, принимает вид:где обозначено:Характеристическое уравнение линейной части системы (6) имеет вид:где обозначено:E – единичная матрица формата μ = const, а величины определяются равенствами (7). Согласно равенству (9) представим уравнение (8) в виде:где обозначено:Представим условие существования нулевого собственного значения матрицы А. Из уравнения (10) следует, что значение имеет место тогда и только тогда, когда q = 0. Этому условию в пространстве квазикоординат однозначно соответствует реономная поверхность с уравнением:Здесь и всюду далее под реономной поверхностью понимается поверхность, уравнение которой содержит коэффициенты, являющиеся функциями времени, в уравнении (11) и далее индекс ⃰ при величинах опущен. Отметим, что это уравнение имеет место в силу тождества:Условие является необходимым признаком существования линейного первого интеграла линейной динамической системы [3]. В этом случае корнями характеристического уравнения (10) являются значения:в силу чего условие существования простого резонанса (вида 1:1) сводится к равенству:В пространстве квазикоординат реономное резонансное соотношение (12) принимает вид:и определяет реономную поверхность второго порядка.Произведём классификацию реономных поверхностей на основе уравнения (13). Введём реономные геометрические инварианты:В структурно несимметричном случае, при котором все значения различны, и величина поверхность (13) является невырожденной реономной центральной поверхностью второго порядка. В этом случае при имеем однополостный и двуполостный гиперболоиды, соответственно, а при – конус. Случаи, при которых имеют место центральная структурнокинетическая симметрия (, соответствуют нецентральной реономной резонансной поверхности, для которой Тогда инвариант и поверхность с уравнением (12) является либо реономным параболическим цилиндром, либо распадается на две плоскости. Это соответсвует структурно вырожденным случаям динамической системы, при которых для имеет место условие:В частности, при условие (14) тождественно удовлетворяется при т.е. на управлениях вида Эти ограничения соответствуют структурнокинетическим условиям обобщённого аналога случая Лагранжа, для которого данная система имеет ось структурнокинетической симметрии Отметим некоторые частные случаи резонансного соотношения (12). Простейший из них определяется условиями:Согласно соотношению связи между этими векторфункциями получаем условие стабилизации координатных осей ортобазиса относительно ортобазиса базиса: В этом случае СМС становится симметрично изменяемой по структуре и ограничение (12) принимает вид:Развёрнутая форма условия (15) представляется равенством:Нулевой индекс, содержащийся в равенствах (15), (16), относится к значениям величин при Из соотношения (16) следует, что при имеем:в силу чего либо либо Это означает, что условие (17) тождественно удовлетворяется либо в случае центральной структурной симметрии системы либо в случае, при котором вектор ω ортогонален координатной оси ортобазиса В общем случае структурное условие (15) тождественно удовлетворяется при любых значениях компонент в случае центральной структурной симметрии. В остальных случаях номер нулевой компоненты совпадает с номером одного из трёх главных осевых моментов инерции данной системы.
Номер журнала Вестник науки №12 (81) том 2
Ссылка для цитирования:
Макеев Н.Н. МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ И РЕЗОНАНС В СЛОЖНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ // Вестник науки №12 (81) том 2. С. 1603 - 1610. 2024 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/19641 (дата обращения: 16.05.2025 г.)
Вестник науки © 2024. 16+