Семмар В.
ГИБРИДНЫЕ МОДЕЛИ: ИНТЕГРАЦИЯ ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И АЛГОРИТМОВ МАШИННОГО ОБУЧЕНИЯ *
Аннотация:
статья рассматривает гибридные модели, объединяющие классические методы решения дифференциальных уравнений с алгоритмами машинного обучения. Описываются ключевые принципы разработки таких подходов, их использование в прямых и обратных задачах, а также их достоинства и ограничения. Особое внимание уделено физически информированным нейронным сетям (Physics-Informed Neural Networks, PINNs) и их сочетанию с численными методами, включая метод конечных элементов.
Ключевые слова:
гибридные модели, дифференциальные уравнения, машинное обучение, численные методы, моделирование, алгоритмы прогнозирования, метод конечных элементов
Гибридные модели представляют собой современный метод, сочетающий классические математические подходы и алгоритмы машинного обучения для решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями. Механизм помогает преодолеть ограничения каждого из компонентов, усиливая сильные стороны аналитических и численных методов – точность и теоретическую основу – и дополняя их возможностями машинного обучения: гибкость, адаптация к различным условиям и работа с большими массивами данных.Сочетание алгоритмов машинного обучения с традиционными методами позволяет эффективно справляться с одной из главных задач вычислительной математики – обработкой сложных, высокоразмерных и нелинейных систем. Классические подходы, как правило, требуют значительных мощностей при решении подобных задач, тогда как машинное обучение способно выявлять скрытые закономерности даже в тех ситуациях, где традиционные оказываются неэффективны. Например, нейронные сети успешно предсказывают решения нелинейных дифференциальных уравнений, обучаясь на доступных данных, что сокращает время на расчёты.Численные методы, хотя и обладают достоинствами, имеют свои ограничения. Им необходима высокая точность при определении начальных и граничных условий, большие вычислительные ресурсы для решения задач в трехмерных пространствах или с большим количеством временных итераций. Более того, такие алгоритмы не всегда результативно решают задачи, связанные с оптимизацией или прогнозированием, особенно при необходимости оперативной обработки показателей. В этих ситуациях машинное обучение становится ценным инструментом, позволяющим разрабатывать гибридные подходы, которые успешно дополняют традиционные методы.Машинное обучение, а особенно нейронные сети, позволяют преодолеть ограничения классических подходов благодаря мощным вычислительным возможностям и способности работать с крупными объемами данных. Их универсальность и умение аппроксимировать сложные нелинейные зависимости делают нейросети действенными даже в случаях, где аналитические или численные механизмы оказываются недостаточными.Инновационным решением являются физически информированные нейронные сети (Physics-Informed Neural Networks, PINNs). Способ использует нейросеть для нахождения условия начального состояния и границ, которые учитываются через функцию потерь. В отличие от традиционных принципов, опирающихся на дискретизацию пространства и времени, PINNs работают с уравнениями в их непрерывной форме, что делает их особенно актуальными для задач высокой размерности или с усложненными граничными условиями. Они применяются для описания поведения жидкостей, теплопередачи и распространения волн, демонстрируя одновременно высокую точность и быстродействие [1].Вместо вычислений на каждом временном шаге, искусственный интеллект обучается прогнозировать результаты, опираясь на предыдущие сведения, что сокращает время выполнения расчетов. Сверточные сети используются для аппроксимации операторов дифференциальных уравнений, позволяя моделировать сложные явления, такие как турбулентные потоки в аэродинамике. Это ускоряет разработку и проектирование различных конструкций – элементы самолётов или системы для ветроэнергетики.В биомедицинских исследованиях нейронные сети находят применение в вопросах, связанных с описанием распространения электрических сигналов в мозге или динамики кровообращения. Модели помогают в диагностике и прогнозировании заболеваний эпилепсии или инсульта. Подобные технологии упрощают изучение сложных процессов в организме, способствуют лучшему пониманию его функционирования и поддерживают разработку инновационных подходов к лечению.Для нелинейных стохастических дифференциальных уравнений, описывающих процессы с высокой неопределённостью, например, в климатическом моделировании или на финансовых рынках, принципы машинного обучения открывают новые горизонты. Рекуррентные нейронные сети (RNN) и трансформеры, активно используются для анализа и прогнозирования временных рядов, помогая более точно предсказывать динамику систем на длительные временные интервалы [2].Ярким примером успешного применения гибридного подхода является интеграция PINNs с численными методами. Сочетание не только ускоряет расчёты, но и обеспечивает высокую точность при решении сложных задач, связанных с физическими явлениями (моделированием деформации материалов или анализом распространения трещин в твёрдых телах).Объединение численных методов с алгоритмами машинного обучения представляет собой инновационный подход, позволяющий эффективно решать задачи, связанные с дифференциальными уравнениями, особенно в случаях с высокой сложностью и многомерностью. Основная их идея заключается в сочетании преимуществ обоих направлений: численные методы предоставляют физически обоснованные решения, а машинное обучение обеспечивает прогнозирование, ускорение вычислений и автоматизацию процессов.Для уравнений с нелинейной динамикой численные методы (конечные элементы или алгоритм Рунге-Кутта) могут применяться для получения стартового приближения. Далее искусственный интеллект обучается на основе сведений, полученных численными расчётами, чтобы прогнозировать результаты для новых граничных или начальных условий. Процесс позволяет сократить время расчётов, сохраняя при этом высокий уровень точности.Примеры применения гибридных моделей демонстрируют их гибкость и эффективность в решении как прямых, так и обратных задач. В случае прямых задач (моделирование теплопередачи) такие технологии способны прогнозировать распределение температуры в сложных объектах, учитывая временную динамику. Для обратных операций (определение физических характеристик материала на основе экспериментальных показателей) машинное обучение используется для обработки больших объёмов информации, а численные методы проверяют и уточняют полученные итоги. Подход активно применяется в материаловедении для анализа механических свойств новых материалов и в медицинской практике при реконструкции изображений (в компьютерной томографии) [1].Гибридные модели прежде всего позволяют повысить результативность вычислений. Для задач с высокой размерностью, где традиционные численные способы сталкиваются с экспоненциальным увеличением сложности, алгоритмы искусственного интеллекта помогают избежать полной дискретизации, обобщая закономерности на основе имеющихся показателей. В гидродинамике они сокращают время расчётов турбулентных потоков с нескольких дней до считаных часов или минут. Особенностей является и повышение точности, поскольку машинное обучение способно моделировать сложные нелинейные зависимости, которые трудно описать аналитически [4].Однако разработка гибридных моделей сопряжена с определёнными трудностями. Процесс создания такой системы требует серьёзной работы на этапе проектирования. Необходимо подобрать оптимальные архитектуры нейронных сетей, алгоритмы обучения и численные методы, которые будут взаимодействовать друг с другом. Обучение их зачастую требует больших вычислительных ресурсов и количества качественных сведений. В ситуациях, где экспериментальных данных недостаточно, может потребоваться их генерация или использование технологий регуляризации, что усложняет процесс разработки. Нейронные сети часто действуют как «чёрный ящик», и без специальных способов анализа бывает сложно понять, почему модель выдала то или иное решение [3].Таким образом, гибридные модели имеют большое значение в решении сложных задач, сочетая сильные стороны численных подходов и методов машинного обучения. Их применение способствует не только увеличению точности и ускорению вычислений, но и расширяет возможности для анализа систем, которые ранее считались слишком трудными для изучения. Тем не менее, разработка таких моделей требует междисциплинарного подхода, что подчёркивает необходимость продолжения исследований и совершенствования существующих технологий.
Номер журнала Вестник науки №12 (81) том 3
Ссылка для цитирования:
Семмар В. ГИБРИДНЫЕ МОДЕЛИ: ИНТЕГРАЦИЯ ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И АЛГОРИТМОВ МАШИННОГО ОБУЧЕНИЯ // Вестник науки №12 (81) том 3. С. 1512 - 1518. 2024 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/19914 (дата обращения: 23.06.2025 г.)
Вестник науки © 2024. 16+