Чудинова М.А.
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ В АНАЛИЗЕ ДАННЫХ *
Аннотация:
статья исследует роль математики как фундамента машинного обучения, подчеркивая взаимосвязь ключевых дисциплин — математического анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и статистики — с разработкой и оптимизацией алгоритмов. Рассмотрены примеры применения методов на практике. Особое внимание уделено перспективам интеграции математики в развитие областей машинного обучения. Показано, как математический аппарат адаптируется к вызовам больших данных и инновационным технологиям, открывая новые возможности для исследований.
Ключевые слова:
машинное обучение, математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, оптимизация, нейронные сети, рекомендательные системы, обработка изображений
Машинное обучение — это область искусственного интеллекта, направленная на разработку алгоритмов, способных обучаться на данных и улучшать свою производительность без явного программирования. Его становление началось в середине XX века: ключевой вехой стали работы Алана Тьюринга (1950), предложившего идею «обучающихся машин», и создание перцептрона Фрэнком Розенблаттом (1958) — одной из первых нейронных сетей. Однако активное развитие дисциплины произошло в последние десятилетия благодаря доступности больших данных, повышению вычислительных мощностей и совершенствованию алгоритмов. Математика служит фундаментом машинного обучения, задавая строгие рамки для формализации задач, построения моделей и оценки их эффективности. Теоретические дисциплины, такие как теория оптимизации, теория вероятностей и дискретная математика, обеспечивают алгоритмы способностью обучаться на данных, адаптироваться к неопределённости и принимать обоснованные решения. Без математического аппарата невозможно ни проектирование архитектур моделей, ни анализ их устойчивости, ни развитие методов, отвечающих вызовам современных вычислительных систем.В машинном обучении математические методы становятся основой для построения предсказательных моделей. Рассмотрим некоторые из них.Математический анализ служит краеугольным камнем для оптимизации и моделирования в анализе данных. Производные и интегралы играют ключевую роль в алгоритмах оптимизации. Например, градиентный спуск, основанный на вычислении частных производных, позволяет обучать нейронные сети и итеративно корректировать параметры модели [4, с. 34], минимизируя функции потерь.Преобразование Фурье, разлагающее сигнал на частотные компоненты, используется в алгоритмах сжатия JPEG, где высокочастотные детали удаляются для уменьшения размера файл. Регрессионный анализ использует интегралы для оценки площадей под кривыми, что критически важно в работе с вероятностными распределениями. Например, гауссовы интегралы лежат в основе нормального распределения, применяемого для оценки доверительных интервалов и проверки гипотез. Линейная алгебра, в свою очередь, обеспечивает структурированное представление данных через матрицы и векторы. Обработка изображений демонстрирует, как матричные операции и интегралы преобразуют сырые данные в полезную информацию. Изображения представляются в виде матриц пикселей, где каждый элемент соответствует интенсивности цвета. Изображения, тексты и даже пользовательские предпочтения кодируются в виде многомерных массивов, где каждая ячейка соответствует определённому признаку. Операции над матрицами, такие как умножение, транспонирование и декомпозиция, позволяют эффективно обрабатывать данные. Библиотеки, такие как NumPy и TensorFlow, используют векторизацию и параллельные вычисления на GPU для ускорения обработки. Так, рекомендательные системы онлайн-кинотеатров «Кинопоиск» и «Иви» применяют матричную факторизацию для прогнозирования пользовательских предпочтений, обрабатывая миллионы взаимодействий [4, с. 136]. Сингулярное разложение (SVD) и метод главных компонент (PCA) [2, с. 21] сокращают размерность данных, устраняя избыточность и шумы, упрощая визуализацию и ускоряя вычисления. В обработке геномных данных PCA помогает выделить ключевые генетические маркеры, связанные с заболеваниями. Системы линейных уравнений применяются в задачах классификации, таких как метод опорных векторов [2, с. 34], где разделяющая гиперплоскость находится через решение оптимизационной задачи. Теория вероятностей и статистика дополняют эти методы, предоставляя инструменты для работы с неопределённостью. Интегралы используются для расчёта плотностей распределений, а статистические тесты, такие как t-критерий Стьюдента, помогают оценивать значимость результатов. Например, в A/B-тестировании интегралы применяются для вычисления вероятности того, что разница между группами не является случайной [4, с. 81]. Сейчас глубокое обучение, сочетающее линейные и нелинейные преобразования, продолжает расширять границы возможностей. Нейросети, такие как трансформеры, комбинируют матричные умножения (линейная алгебра) и функции активации (матанализ) для обработки последовательностей. Автоматическое дифференцирование (autograd) позволяет рассчитывать градиенты для сложных архитектур, делая обучение моделей более эффективным [3, с. 86]. В обработке естественного языка (NLP) векторные представления слов, такие как Word2Vec и BERT, преобразуют текст в числовые эмбеддинги, сохраняя семантические связи [5, с. 36]. Механизмы внимания (attention) в трансформерах используют скалярные произведения векторов для определения значимости слов в предложении. Например, в переводчиках Google Translate эти методы обеспечивают контекстно-зависимый перевод. Квантовые вычисления, основанные на принципах линейной алгебры в гильбертовых пространствах, обещают революцию в анализе данных. Квантовые алгоритмы, такие как алгоритм Гровера, потенциально могут ускорить поиск в неструктурированных базах данных, а квантовое машинное обучение исследует новые подходы к оптимизации. Математические методы остаются неотъемлемой частью анализа данных, адаптируясь к вызовам современных технологий. Интеграция матанализа, линейной алгебры и статистики в нейросети, NLP и квантовые алгоритмы открывает новые горизонты для исследований. Будущее направления связаны с преодолением ограничений больших данных через гибридные модели, сочетающие классическую математику и инновационные вычислительные подходы [4, с. 49] [5, с. 28].
Номер журнала Вестник науки №5 (86) том 4
Ссылка для цитирования:
Чудинова М.А. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ В АНАЛИЗЕ ДАННЫХ // Вестник науки №5 (86) том 4. С. 1494 - 1498. 2025 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/23457 (дата обращения: 12.07.2025 г.)
Вестник науки © 2025. 16+