Шиленкова М.В.
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА И ГИПОТЕЗА О ПРОСТЫХ-БЛИЗНЕЦАХ *
Аннотация:
статья посвящена исследованию гипотезы о простых числах-близнецах и её связи с проблемой распределения простых чисел. Рассматривается утверждение о бесконечности пар простых чисел, отличающихся на 2, а также анализируются последние достижения в этой области, включая работы Яна Чжана (2013) и Полиматического проекта, сокративших минимальную разность между такими числами до 246 (и до 6 при условии гипотезы Эллиота–Халберстама).Особое внимание уделяется концепции изолированных простых чисел – простых чисел, в окрестности которых отсутствуют другие простые. Продемонстрировано, как такие числа могут возникать, используя параметризацию вида 6k±1 и системы уравнений для проверки условий их изолированности. На примерах показано, что гипотеза о существовании изолированных простых для произвольных интервалов тесно связана с теоремой Эрдёша–Ранкина о сколь угодно больших пробелах между простыми числами.Статья также исследует утверждение:Если 6k−1 и 6k+1 – простые-близнецы, то хотя бы одно из чисел 6(6k±1) ±1 также будет простым. На примерах подтверждается его выполнимость, однако строгое доказательство остаётся открытой проблемой. Через построение систем уравнений и анализ делимости автор выявляет сложности, возникающие при поиске контрпримеров.
Ключевые слова:
простые числа-близнецы, изолированные простые числа, распределение простых чисел, модульная арифметика
Введение.Гипотеза о простых числах-близнецах – одна из самых известных нерешённых проблем в теории чисел. Она утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел-близнецов – то есть простых чисел, отличающихся на 2 (например, 3 и 5, 11 и 13, 17 и 19).Парность простых чисел отмечалась ещё античными математиками. Евклид (III век до н.э.) доказал, что простых чисел бесконечно много, но вопрос о близнецах остался открытым. Термин "простые числа-близнецы" (англ. twin primes) ввёл немецкий математик Пауль Штакельберг (Paul Stäckel) в 1892 году. Британские математики предложили гипотезу Харди-Литлвуда, которая предсказывает асимптотическую плотность распределения пар близнецов. Согласно ей, количество пар близнецов до числа N примерно равно:π2N~2∙C2∙N(lnN)2,где C2 – константа простых близнецов (C2≈0.66016).В 1915 году Вигго Брун показал, что сумма обратных величин простых близнецов сходится (в отличие от суммы обратных всех простых чисел). Это означает, что, если близнецов бесконечно много, они встречаются "редко". Китайский математик Ян Чжан доказал, что существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся не более чем на 70 миллионов. Это был прорыв, сузивший границы возможного. Коллектив математиков (включая Теренса Тао) улучшил результат Чжана до 246, а при условии истинности гипотезы Эллиота-Халберстама – до 6.Раздел 1.Предположение: если p – простое, то в отрезке от p-4 до p+4 есть хотя бы одно простое число.Рассмотрим это утверждение подробнее.Пусть есть некоторое простое число, больше 3. Это может быть любое простое число, тогда его можно представить в виде 6k±1. Любое простое число можно записать в такой форме. Доказательство этого утверждения напрямую следует из анализа остатков при делении на 6, что является фундаментальным приёмом в теории чисел. Оно стало общепринятым знанием в ходе развития математики, а не результатом отдельного открытия.Пусть наше простое число представимо в виде 6k+1. Рассмотрим отрезок 6k−3,6k+5: он состоит из чисел: 6k−3, 6k−2, 6k−1, 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5.Предположим, что наше утверждение не верно. То есть все эти числа, за исключением нашего 6k+1 составные.Мы видим, что 6k−3 – составное, делится на 3.6k−2 – составное, делится на 2.6k – составное, делится на 6.6k+2 – составное, делится на 2.6k+3 – составное, делится на 3.6k+4 – составное, делится на 2.Остались только два числа, которые могут быть простыми: 6k−1 и 6k+5. Предположим, что они составные. Тогда они должны делиться на некоторое простое число. Запишем их в виде:1) 6k−1=p1∙a, где p1 – простое число, a – некоторое число (оно может быть как простым, так и составным), но a – нечетное, так как 6k−1- нечетное, p1 – простое, а, значит, тоже нечетное.2) 6k+5=p2∙b, где p2 – простое число, b – некоторое число (оно может быть как простым, так и составным), но b – нечетное, так как 6k+5- нечетное, p2 – простое, а, значит, тоже нечетное.При этом, 6k−1+6=p1∙a+6=p2∙b = 6k+5.3) 6k+3=p3∙c, где p3 – простое число, c – некоторое число (оно может быть как простым, так и составным), но c – нечетное, так как 6k+3 - нечетное, p3 – простое, а, значит, тоже нечетное.При этом, 6k−1+4=p1∙a+4=p3∙c = 6k+3.Рассмотрим последние цифры, на которые могут заканчиваться наши числа.Таблица 1.Мы видим, что если наше простое число 6k+1 заканчивается на 1, то следующее за ним потенциально простое число, не будет простым, а будет заканчиваться на 5, а значит делиться на 5, то есть будет составным.Если 6k+1 будет заканчиваться 7, то предыдущее «простое» число так же будет составным и делиться на 5.Необходимо убедиться в том, что если одно число делиться на 5, то другое число, из нами рассматриваемых, может или нет делиться на другое простое число.Рассмотрим таблицу делимости:Таблица 2.Запишем в виде системы уравнений:5m+6=7b6k−1=5m6k+5=7bВ системе учтены случаи, когда:6k−1 – делится на 5, и 6k+5 – делится на 7.5m=7b−6, значит, m=7b−6.m=7b−65. Это должно быть целое число, поэтому 7b−6 должно делиться на 5. То есть 7b≡6 mod5.Поскольку 7 ≡ 2mod5, то уравнение преобразуем в следующее: 2b≡6mod5.Упростим: 2b≡1mod5.Найдем обратный элемент к 2 по модулю 5.2*3=6 ≡1mod5, значит, обратный элемент – 3. Умножим обе части на 3: b≡3∗1≡3mod5. То есть b=5t+3, где t - целое число.Теперь подставим b=5t+3 в первое уравнение: 5m+6=7∗(5t+3).Вычисляю: 5m+6=35t+21. Отсюда 5m=35t+15, значит, m=7t+3.Из третьего уравнения, подставляя в него найденные m и b, получим:k=35n+26m=42n+31b=30n+23Таким образом, если 6k-1 делится на 5, то число 6k+5 может делиться на 7, при условии, что 6k+1 остается простым.Проверим это условие: k=35n+26, тогда 6k+1=210n+157.Выражение 210n+157 может быть простым числом для некоторых целых значений n, но не для всех. Например:При n=0 6k+1=157 (простое).При n=1 – 367 (простое).При n=2 – 577 (простое).При n=5 – 1207 (составное: 17∙71).Согласно теореме Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях, если a и d взаимно просты (НОД(157, 210) = 1), то прогрессия a+d∙n содержит бесконечно много простых чисел. Таким образом, существует бесконечно много значений n, при которых 210n+157 является простым.Из этого следует, что существует простое число p, представимое в виде 6k+1, для которого в на отрезке p-4, p+4 не будет простых чисел, кроме p.То есть число p – изолированное простое.Изолированное простое число — это простое число, которое не является частью пары простых чисел-близнецов (т.е. пар простых чисел, отличающихся на 2).Таким образом, изолированных простых чисел бесконечно.Но тогда какой минимальный отрезок необходим для того, чтобы в нем помимо указанного простого числа p были еще простые числа?Если 6k+1 - простое, то на отрезке 6k-7 до 6k+9 будет хотя бы одно простое число.Если рассмотреть распределение простых чисел, то согласно теореме о промежутках между простыми числами, существуют сколь угодно большие промежутки без простых чисел. Однако в данном случае мы рассматриваем относительно небольшой отрезок из 18 чисел. Теорема Дирихле гарантирует, что в арифметических прогрессиях вида 6k+1 содержится бесконечно много простых чисел, что поддерживает вероятность нахождения других простых чисел в окрестности.Таким образом, можно предположить, что утверждение верно для всех k, но для полной уверенности требуется более строгое доказательство или проверка для большего количества случаев.Проведем аналогичные рассуждения:Таблица 3.У нас есть система уравнений:1. 6k+1 — простое число2. 6k−7=7a3. 6k−5=5b4. 6k−1=11c5. 6k+11=13dНам нужно найти целые числа k, a, b, c, d, удовлетворяющие всем этим условиям.Аналогично рассуждениям, которые проводили для другого отрезка, получим:k=5005q+35a=715q+29b=1001q+41c=455q+19d=385q+17Но для значений q необходимо проверять простоту числа 30030q+211. Существуют q, для которых это значение будет простым. А значит существует простое число, для которого на отрезке от 6k-7 до 6k+9 не будет хотя бы одного простого числа. Увеличивая длину отрезка, мы увеличиваем и количество возможных простых делителей, таким образом, для любого k найдется простое число такое p, что на отрезке p-2k, p+2k не будет простых чисел, кроме p.Система уравнений всегда будет иметь бесконечно много решений, так как количество переменных в ней больше количества самих уравнений.Теорема о промежутках (Ян Чжан, 2013): существует бесконечно много пар простых чисел с разностью не более 70 миллионов.Гипотеза Эрдёша: предполагает, что существуют сколь угодно большие пробелы между простыми числами. Если она верна, то для любого k можно найти простое p, после которого следующий простой номер будет больше p+2k, удовлетворяя условию гипотезы.Таким образом, гипотеза о существовании изолированных простых чисел для произвольных интервалов доказана. Для любого k найдется простое число такое p, что на отрезке p-2k, p+2k не будет простых чисел, кроме p.Гипотеза тесно связана с проблемой существования сколь угодно больших промежутков между последовательными простыми числами.Раздел 2.Гипотеза: если 6k-1 и 6k+1 – простые-близнецы, то хотя бы одно из чисел 6(6k±1)±1 также будет простым.Попробуем доказать это утверждение. Проанализируем поведение k, если все 4 числа составные и делятся на 5, 7, 11 и 13, по аналогии с уже рассматриваемыми системами.1. 36k−7=5a ⇒k=5a+7362. 36k−5=7b⇒k=7b+5363. 36k+5=11c⇒k=11c−5364. 36k+7=13d⇒k=13d−736Теперь, чтобы k было целым числом, все эти дроби должны быть целыми. Это накладывает условия на a, b, c, d:1. 5a+7 должно делиться на 36.2. 7b+5 должно делиться на 36.3. 11c−5 должно делиться на 36.4. 13d−7 должно делиться на 36.Кроме того, числа 6k−1 и 6k+1 должны быть простыми числами-близнецами. То есть оба должны быть простыми и разница между ними равна 2.Теперь нужно решить систему уравнений с учетом всех этих условий.Рассмотрим каждое уравнение отдельно:1) Уравнение 1:5a+7≡0mod365a≡−7mod 36 ⟹ 5a≡29mod36Найдем обратный элемент к 5 по модулю 36. Поскольку 5×29=145≡1mod36, то обратный элемент равен 29. Тогда:a≡29×29mod 36 ⟹ a≡841mod36 ⟹ a≡841−23×36=841−828=13mod36,Таким образом, a=36m+13, где m — целое число.2) Уравнение 2:7b+5≡0mod367b≡−5mod36 ⟹ 7b≡31mod36Найдем обратный элемент к 7 по модулю 36. 7×31=217≡1mod 366, так что обратный элемент равен 31. Тогда:b≡31×31mod36 ⟹ b≡961mod36 ⟹ b≡961−26×36=961−936=25mod36 Таким образом, b=36n+25, где n — целое число.3) Уравнение 3:11c−5≡0mod3611c≡5mod36Найдем обратный элемент к 11 по модулю 36. 11×11=121≡121−3×36=121−108=13mod36. Нужно найти такое x, что 11x≡1 mod 36.Попробуем x=23:11×23=253≡253−7×36=253−252=1mod36. Обратный элемент равен 23. Тогда:c≡23×5mod 36 ⟹ c≡115mod 36 ⟹ c≡115−3×36=115−108=7mod36Таким образом, c=36p+7, где p — целое число.4) Уравнение 4:13d−7≡0mod3613d≡7mod36Аналогично, d=36q+31, где q — целое число.Теперь подставим выражения для a, b, c, d в уравнения и найдем k.1. k=5m+22. k=7n+53. k=11p+24. k=13q+11Приравнивая поочередно эти выражения, получим, что k=5005q+4457.Остается проверить на простоту: 6k-1 и 6k+1.6k-1 = 30030q+26741, но это число всегда делится на 11, то есть является составным. Таким образом, утверждение: если 6k-1 и 6k+1 – простые-близнецы, то хотя бы одно из чисел 6(6k±1)±1 также будет простым, частично доказано.Проверим ее выполнимость, при других простых делителях:1. 36k−7=23a2. 36k−5=7b3. 36k+5=11c4. 36k+7=17dЗдесь k=30107p+24400.6k-1=180642p+146399, и снова является составным.Мы видим, что данная система не имеет решений при заданных условиях, в системе 5 переменных при 6 условиях.Вывод: если 6k-1 и 6k+1 – простые-близнецы, то хотя бы одно из чисел 6(6k±1)±1 также будет простым.Если гипотеза верна, это указывает на «устойчивость» близнецов к полной изоляции.Данное утверждение противоречит гипотезе о существовании сколь угодно больших «пустынь» между простыми числами, как конкретного отрезка, но ранее мы доказали, что величина (длина) этого отрезка зависит от простого числа, для которого ищем «пустыню». Но в случае утверждения о числах близнецах, расстояние между простым и близнецом так же увеличивается в зависимости от простого-близнеца.Заключение.Распределение простых чисел допускает как «близнецов», так и «изолированных» чисел, подчёркивая их нерегулярность. Гипотезы о простых числах-близнецах и изолированных простых взаимосвязаны и требуют комбинации эмпирических и теоретических методов. Прогресс в этой области открывает новые горизонты, но многие вопросы остаются нерешёнными. Гипотеза, сформулированная в этой статье: если f(k)=6k+1 или f(k)=6k-1 – обе функции дают результат, который будет являться простым числом, то у функций вида f(f(k)), f(f(f(k))), f(f….(f(k))))) и т.д. хотя бы одно значение так же будет простым числом.Статья служит иллюстрацией глубины и сложности задач теории чисел, актуальных для современной математики, а также в ней сформулирована гипотеза и ее частичное доказательство, которое поможет в дальнейшем изучении простых чисел.
Номер журнала Вестник науки №6 (87) том 2
Ссылка для цитирования:
Шиленкова М.В. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА И ГИПОТЕЗА О ПРОСТЫХ-БЛИЗНЕЦАХ // Вестник науки №6 (87) том 2. С. 2022 - 2034. 2025 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/24128 (дата обращения: 08.07.2025 г.)
Вестник науки © 2025. 16+