Нургажинова А.Е., Павлюк И.И.
О МЕТОДОЛОГИИ ОСНОВ ТЕОРИИ ГРУПП *
Аннотация:
в статье рассматриваются некоторые вопросы истории и методологии теории групп и методики изучения групп
Ключевые слова:
теория групп, конечная группа, условие минимальности, изучение групп, класс
Теория групп – одно из самых красивых и важных разделов не только современной алгебры, которое наиболее интенсивно развивается в наше время и имеет многочисленные применения, как в самой математике, так и за её пределами. Основные понятия и методы теории групп входят в подавляющее большинство разделов современной математики. Поэтому на изучение начал теории групп следует обратить особое внимание будущих учителей математики и будущих математиков. Если хочешь понимать абстрактную математику – начинайте с теории групп![1] Теория групп, как самостоятельный раздел алгебры, возникла сравнительно давно в конце XVIII и начале XIX века и первоначально развивалась лишь как вспомогательный аппарат для задачи о решении уравнений высших степеней в радикалах. Это было вызвано тем, что именно в указанной задаче впервые было замечено, что свойства равноправности и симметрии корней уравнения являются основными для решения всей задачи. Впервые это было замечено Э. Галуа(1811–1832 гг.) , который и считается родоначальником теории групп. В течении XIX и XX вв. важная роль закономерностей симметрии выявилась во многих других разделах науки: геометрии, топологии, теории функций, кристаллографии, физике, химии. Благодаря этому методы и результаты теории групп получили широкое распространение. Поскольку каждая область приложений ставила перед теорией групп свои особенные задачи, она разбилась на ряд самостоятельных направлений: общая теория групп, теория конечных групп, теория непрерывных групп, дискретные группы преобразований, теория представлений и характеров групп и др. Развиваясь, методы и понятия теории групп охватили вопросы не только связанные с изучением закономерностей симметрии. Выдающийся вклад в развитие теории групп и её приложений внесли, Н. Абель, Л. Силов, К. Жордан, А. Пуанкаре, Ф. Клейн, Г. Фробениус, О.Ю. Шмидт, Л. С. Понтрягин, А.И. Мальцев, А. Г. Курош, Р. Бэр, Дж. Томпсон, У. Фейт и др. При исследовании алгебраических уравнений на разрешимость в радикалах Лагранж, Руффини и Абель рассматривали группы подстановок корней уравнений. В 1771 г. для циклических групп подстановок Лагранж установил справедливость теоремы о порядках их подгрупп, названной впоследствии его именем. Коммутативные группы обычно называют абелевыми, поскольку Абель изучал уравнения с коммутативными группами подстановок их корней(группы Галуа уравнений).Впервые термин «группа» появился у Руффини и Галуа, а также Галуа ввел понятия нормальной подгруппы, факторгруппы, поля. Возникшая на основе идей Э. Галуа теория групп первоначально развивалась в рамках теории конечных групп. Идея абстрактной бесконечной группы получила воплощение в работах А. Кэли об аксиомах группы, но в то время эта идея не получила должного развития. Впервые изложение основ теории абстрактных групп (без предположения, о том, что рассматриваемая группа конечна) было сделано в книге О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» Наиболее интенсивно это направление развивалось в работах С.Н. Черникова,М.И. Каргаполова,Ю. И. Мерзлякова, Владимира Петровича Шункова, Ю. М. Горчакова, А. И. Старостина, Б. И. Плоткина, В. Д. Мазурова, Д. И. Зайцева, Б. Хартли,О. Кегеля, П. С. Новикова, С. И. Адяна, А. Ю. Ольшанского,Н.С. Черникова, А. И. Созутова, А. К. Шлепкина, Ив.И. Павлюка, Н. М. Сучкова, Е. И. Чубаровой, В. И. Сенашова, А. М. Попова, Н.Г. Сучковой, А. В. Тимофеенко, М.Н. Ивко, О.В. Пашковской, О. В. Головановой, Е. Н. Яковлевой, М. В. Янченко и др. Изучение групп с разного рода условиями конечности началось еще с середины 30-ых годов прошлого столетия в школе О.Ю. Шмидта. Это было связано с попытками обобщить некоторые результаты из теории конечных групп на бесконечные группы. В те годы было введено очень важное условие конечности в группах – обрыв убывающих цепочек подгрупп (условие минимальности). Кроме этого были выделены следующие классы групп: периодические группы; локально-конечные группы; локально-разрешимые группы. В дальнейшем С. Н. Черниковым было доказано, что класс бесконечных локально-разрешимых групп с условием минимальности совпадает с классом конечных расширений прямых произведений конечного числа квазицикличеких групп. Позднее такие группы были названы черниковскими .[2] Известная проблема о том, будет ли черниковской всякая группа с условием минимальности, получившая название проблемы минимальности, была отрицательно решена П. С. Новиковым, С. И. Адяном и А. Ю. Ольшанским, которые построили примеры периодических не локально-конечных групп. В частности, группы, построенные А. Ю. Ольшанским замечательны тем, что сами они бесконечны, в то время как все их собственныне подгруппы являются циклическими порядка р. С другой стороны, существуют достаточно обширные классы групп, в которых эта проблема была решена положительно, так В. П. Шунковым в классе локально-конечных групп и Н. С. Черниковым в классе бинарно конечных групп. В. П. Шунковым совместно с А. Н. Остыловским доказано, что всякая сопряжено бипримитивно конечная группа с условием минимальности для подгрупп является черниковской . Тем самым проблема минимальности была решена положительно в классе сопряжено бипримитивно конечных групп. В. П. Шункову совместно с Н. Г. Сучковой удалось усилить этот результат для групп с условиями минимальности для абелевых подгрупп . В. П. Шунковым в работе и затем им же совместно с А. М. Поповым в работе охарактеризованы черниковские группы в классе групп без инволюций и в классе всех групп при достаточно слабых условиях конечности. Локальноконечные группы с условием примарной минимальности для подгрупп получим полное описание в, а периодические почти локально разрешимые группы, удовлетворяющие условию примарной минимальности, охарактеризованы В. И. Сенашовым в классе периодических групп и в классе всех групп . Частные свойства соизмеримости двух подгрупп рассматривались В.П. Шунковым, а общая ситуация и отношение индексной эквивалентности на элементах не локально конечной группы были рассмотрены Ив. И. Павлюком в работах[3].[4] . Ситуация, когда индексы централизаторов в группах с условием соизмеримости совпадают и равны единице, оставалась долгое время не исследованной, и поэтому является основой при изучении групп. Центральная сравнимость подгрупп определяется частным случаем условия соизмеримости подгрупп, а именно, когда
Номер журнала Вестник науки №6 (27) том 1
Ссылка для цитирования:
Нургажинова А.Е., Павлюк И.И. О МЕТОДОЛОГИИ ОСНОВ ТЕОРИИ ГРУПП // Вестник науки №6 (27) том 1. С. 190 - 196. 2020 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/3246 (дата обращения: 10.05.2024 г.)
Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2020. 16+