Гайрунова Д.А.
ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ РАЗДЕЛАГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ *
Аннотация:
в данной статье рассмотрен один из самых актуальных и в тоже время сложных вопросов преподавания школьного курса геометрии – геометрические преобразования плоскости. Основное внимание в работе авторы акцентируют на выработке методики введения частных типов геометрических преобразований на уроках геометрии в школе для более глубокого усвоения. Выделяются и описываются характерные особенности введения данного понятия. Значительное внимание уделяется методической схеме изучения геометрических преобразований в школьном курсе. Представленная в статье методика введения основных понятий теории геометрических преобразований была реализована в конкретном учебном процессе на уроках геометрии и позволила повысить эффективность усвоения изучаемого материала
Ключевые слова:
школьная геометрия, геометрическое преобразование плоскости, отображения плоских фигур, поворот
Идея геометрических преобразований – одна из основных идей современной математики. Она лежит как в основе определения геометрии, так и в основе классификации её отдельных разделов. Достаточно вспомнить определение геометрии, данное Феликсом Клейном в его знаменитой Эрлангенской программе. Ф. Клейном впервые были сформулированы принципы теоретикогруппового построения геометрии. Геометрия – это наука, изучающая свойства фигур, инвариантные относительно некоторой группы преобразований. В самом деле, проективная геометрия – геометрия проективной группы, аффинная – аффинной, а школьная геометрия – геометрия группы движений и подобий. Широки практические приложения геометрических преобразований. Теория подобия проникла в физику и стала основой физического эксперимента. Она нашла приложение и в технике. В современной науке и технике широкое применение находит обобщенное понимание геометрического подобия и моделирования явлений. Геометрические преобразования имеют и большое воспитательное значение, с ними входят в геометрию диалектика, движение [3]. Если в науке идея геометрических преобразований завоевала всеобщее признание, то вопрос о целесообразности изучения геометрических преобразований в школе оставался открытым до недавнего времени. В настоящее время уже не стоит вопрос: изучать геометрические преобразования или нет. Вопрос в другом: как изучать. Прежде чем заняться изучением геометрических преобразований в школе, дадим некоторые общие определения. Они носят несколько абстрактный характер, так как относятся к множествам, природа элементов которых для нас пока безразлична. Определение 1. Отображением f множества М в множество М’ называется такое правило, при котором каждому элементу т множества М соответствует единственный элемент т’ множества М’. Элемент т’ называется образом элемента т, а элемент т называется прообразом элемента т’ при отображении f. f : М → М f :т → т’ т ‘ = f(m) Если при отображении f каждый элемент т’ множества М’ является образом по крайней мере одного элемента т множества М, то говорят, что множество М отображается на множество М’. Определение 2. Отображение f множества М на множество М’ называется взаимно однозначным, если разным элементам множества М соответствуют разные элементы множества М’. Определение 3. Взаимно однозначное отображение f множества М на себя называется преобразованием множества М. В геометрии мы также занимаемся отображением одного множества в другое, только элементами множества М являются точки плоскости или пространства и тогда говорят о геометрическом отображении одного множества в другое. Определим геометрическое преобразование плоскости. Определение 4. Пусть элементами множества М являются все точки плоскости. Взаимно однозначное отображение множества точек плоскости на себя называется геометрическим преобразованием плоскости. Методическая схема изучения геометрических преобразований 1. Определение. 2. Способы задания. 3. Свойства. 4. Применение к доказательству теорем и решению задач. Проиллюстрируем данную схему на примере одно из геометрического преобразования – поворота. 1. Определение. Поворотом вокруг точки О на данный угол а в данном направлении называется преобразование плоскости, при котором каждой точке М плоскости соответствует точка М’ такая, что: 1) ОМ = ОМ’; 2) М’ОМ = а; 3) луч ОМ’ откладывается от луча ОМ в заданном направлении. Точке О поставим в соответствие эту же точку О. Точка О называется центром поворота. 2. Способы задания поворота: 1) с помощью центра, угла и направления поворота; 2) с центра, точки М и ее образа М’ при данном повороте; 3) с помощью угла, точки М и ее образа М’ при данном повороте. Аналитические формулы поворота лучше в школе не рассматривать, потому что они сложны и не наглядны. Хотя при решении задач можно ввести формулы поворота с центром в начале координат на 90° по часовой стрелке и на 90° против часовой стрелки . 3. Свойства поворота. 1. Поворот сохраняет расстояние между точками. Доказательство. Пусть дан поворот вокруг точки О на угол а в данном направлении. При данном повороте точка М отображается на точку М’, а точка К – на точку К’. Тогда ОМ = ОМ’, ОК = ОК’, ∠ MOM’= а, а также ∠ КОК’ = а и лучи ОМ’, ОК’ отложены соответственно от лучей ОМ и ОК в заданном направлении. Обозначим ∠ КОМ’ = р. Тогда ∠ МОК = ∠ MOM’- ∠ КОМ’ = а – р. Аналогично, ∠ M’OK’ = ∠ KOK’ – ∠ КОМ’ = а – р, ∠ К’ОМ’ = а – р, тогда ΔMOK = ΔМ’ОК’ по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Следовательно, МК = М’К’. Следствие. Поворот является движением, следовательно, он обладает всеми свойствами движения. 2. Угол между соответственными при повороте прямыми (отрезками, лучами) равен углу поворота. Задачи по теме «Поворот» также можно разбить на три блока. I блок. Задачи, предназначенные для формирования умений и навыков при построении образов различных фигур при повороте и при различных способах задания поворота. II блок. Задачи, предназначенные для использования формулы поворота вокруг точки О на 90° либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. III блок. Решение задач методом поворота.
Номер журнала Вестник науки №12 (33) том 1
Ссылка для цитирования:
Гайрунова Д.А. ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ РАЗДЕЛАГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ // Вестник науки №12 (33) том 1. С. 9 - 13. 2020 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/3840 (дата обращения: 18.04.2024 г.)
Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2020. 16+