Никонов М.В.
ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА В ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗА И КОРРЕКЦИИ ЦЕН НА ФИНАНСОВЫХ БИРЖАХ *
Аннотация:
в данной статье рассматриваются особенности линеаризованного фильтра Калмана на примере модифицированной математической модели финансовых бирж, основанной на игре “Менеджмент”
Ключевые слова:
фильтр Калмана, моделирование, финансовые рынки
УДК 519.218
Никонов М.В.
студент
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
(г. Москва, Россия)
ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА
В ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗА И КОРРЕКЦИИ ЦЕН
НА ФИНАНСОВЫХ БИРЖАХ
Аннотация: в данной статье рассматриваются особенности линеаризованного фильтра Калмана на примере модифицированной математической модели финансовых бирж, основанной на игре “Менеджмент”.
Ключевые слова: фильтр Калмана, моделирование, финансовые рынки.
На бирже участвуют N участников, которые выполняют действия реальных участников, таких как брокер, дилер, маркетмейкер и т.д. Каждый участник имеет заданный номер 1 ≤ k ≤ N. Каждый участник с номером k имеет начальный капитал в размере k единиц валюты, Qk единиц акций. k, Qk являются случайными величинами. Моделирование идет циклами – минимальными колебаниями курса на рынке.
Qk = Qk + Ek – , c – порядковый номер цикла, Ek = const – количество новых акций, – случайная величина, определяющая издержки.
Один участник может приобрести и продать единицы акций, заплатив издержки в виде константной величины = const за каждую акцию рынку, цена издержки определяется до старта моделирования.
По итогам цикла с каждого участника списывается комиссия рынка – случайная величина, определяемая уровнем рынка. Даже если от участника не поступило предложений о покупке или продаже на рынке.
Таблица 1 – Правила рынка
|
|
Количество |
Увеличение |
Издержки |
|
Акции |
Qk |
Ek |
|
|
Валюта |
k |
? |
Qk + |
Каждый цикл рынок проводит аукционы по продаже и закупке выбранной продукции участников, выбирая оптимальное предложение. Единичное предложение определяется по формуле:
Lk = k k, Lk , k – количество единиц продукции, k – установленная участником цена продукции.
В свою очередь предложение равно:
k, где x – количество предложений участника во время цикла
Оптимальное предложение на продажу в свою очередь определяется так:
Sp = max(k), 0 p N
Таким образом, рынок приобретет все единицы продукции у участника с оптимальным предложением, а затем определит чье предложение будет удовлетворено следующим. Аналогично задается оптимальное предложение на покупку:
Bp = min(k), 0 p N
Рынок продолжит удовлетворять предложения участников до тех пор, пока количество продукции, которое закупает(продает) рынок больше нуля.
Предложенная система была модифицирована из игры “Менеджмент” [1], предложенная компанией Avalon Hill.
Для решения задачи прогнозирования и коррекции цены продажи может быть использован линеаризованный фильтр Калмана.
Рассмотрим полное вероятностное пространство с фильтрацией , -измеримый случайный вектор -согласованные последовательности независимых случайных векторов ( независимы в совокупности). Рассмотрим стохастическую динамическую систему наблюдения с дискретным временем вида
называется стохастической динамической системой наблюдения с дискретным временем. Здесь
Пусть – -алгебра, порожденная наблюдениями, полученными на отрезке [1,T].
Выведем уравнения оптимальной фильтрации при некоторых дополнительных предположениях.
Вывод рекуррентных соотношений фильтрации основан на свойстве условной плотности распределения:
Вывод уравнений осуществляется методом математической индукции. Будем обозначать – условная плотность распределения состояния относительно (плотность оценки фильтрации).
– формулы для вычисления начального условия.
Тогда плотность оценки фильтрации на шаге t равна:
а искомая оценка оптимальной фильтрации:
Задача оптимальной фильтрации заключается в построении , однако реализация соответствующих формул является достаточно сложной вычислительной задачей.
Об уравнениях имеется следующая дополнительная информация:
Разложим уравнения в окрестности в ряд Тейлора:
и исключим из рассмотрения слагаемые более высоких порядков и . Тогда уравнения заменяются своим линейными приближениями:
Линеаризованный фильтр Калмана – фильтр Калмана, примененный к линеаризованной системе наблюдения:
Выбор «удачной» опорной траектории является ключевым фактором, влияющим на точность оценок фильтрации.
Важнейшим для понимания работы всех нелинейных фильтров Калмановской структуры, в том числе линеаризованного фильтра Калмана является тот факт, что – не матрица ковариации ошибки прогноза, и – не матрица ковариации ошибки оценки фильтрации. Это лишь некоторые их приближения, оценки.
Предложенный алгоритм линеаризованного фильтра Калмана взят из книги “Теория оценивания и ее применение в связи и управлении” [2].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
Ч. Уэзерелл. Этюды для программистов. пер. с английского. М.: Мир, 1982
Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении, М.: Связь, 1976.
Nikonov M.V.
Student
Lomonosov Moscow State University
(Moscow, Russia)
KALMAN FILTER IN THE PROBLEMS
OF PREDICTION AND PRICE CORRECTION
ON FINANCIAL MARKETS
Abstract: this article examines the features of the linearized Kalman filter using the example of a modified mathematical model of financial exchanges based on the game "Management".
Keywords: Kalman filter, modeling, financial markets.
Номер журнала Вестник науки №12 (45) том 1
Ссылка для цитирования:
Никонов М.В. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА В ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗА И КОРРЕКЦИИ ЦЕН НА ФИНАНСОВЫХ БИРЖАХ // Вестник науки №12 (45) том 1. С. 145 - 151. 2021 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/4981 (дата обращения: 26.04.2024 г.)
Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2021. 16+