'
Научный журнал «Вестник науки»

Режим работы с 09:00 по 23:00

zhurnal@vestnik-nauki.com

Информационное письмо

  1. Главная
  2. Архив
  3. Вестник науки №12 (45) том 1
  4. Научная статья № 19

Просмотры  121 просмотров

Никонов М.В.

  


ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА В ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗА И КОРРЕКЦИИ ЦЕН НА ФИНАНСОВЫХ БИРЖАХ *

  


Аннотация:
в данной статье рассматриваются особенности линеаризованного фильтра Калмана на примере модифицированной математической модели финансовых бирж, основанной на игре “Менеджмент”   

Ключевые слова:
фильтр Калмана, моделирование, финансовые рынки   


УДК 519.218

Никонов М.В.

студент

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

(г. Москва, Россия)

 

ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА

В ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗА И КОРРЕКЦИИ ЦЕН

НА ФИНАНСОВЫХ БИРЖАХ

 

Аннотация: в данной статье рассматриваются особенности линеаризованного фильтра Калмана на примере модифицированной математической модели финансовых бирж, основанной на игре “Менеджмент”.

 

Ключевые слова: фильтр Калмана, моделирование, финансовые рынки.

 

На бирже участвуют N  участников, которые выполняют действия реальных участников, таких как брокер, дилер, маркетмейкер и т.д. Каждый участник имеет заданный номер 1 ≤ k ≤ N. Каждый участник с номером k имеет начальный капитал в размере k единиц валюты, Qk единиц акций. k, Qk являются случайными величинами. Моделирование идет циклами – минимальными колебаниями курса на рынке.

Qk = Qk + Ek – , c  – порядковый номер цикла, Ek = const – количество новых акций,  – случайная величина, определяющая издержки.

Один участник может приобрести и продать единицы акций, заплатив издержки в виде константной величины  = const за каждую акцию рынку, цена издержки определяется до старта моделирования. 

По итогам цикла с каждого участника списывается комиссия рынка  – случайная величина, определяемая уровнем рынка. Даже если от участника не поступило предложений о покупке или продаже на рынке.

 

 

Таблица 1 – Правила рынка

 

 

Количество

Увеличение

Издержки

Акции

Qk

Ek

 

Валюта

k

?

Qk  +

 

 Каждый цикл рынок проводит аукционы по продаже и закупке выбранной продукции участников, выбирая оптимальное предложение. Единичное предложение определяется по формуле:

Lk = k k, Lk , k  – количество единиц продукции,  k  – установленная участником цена продукции.

В свою очередь предложение равно:

k, где x  – количество предложений участника во время цикла

Оптимальное предложение на продажу в свою очередь определяется так:

Sp = max(k), 0 p  N

Таким образом, рынок приобретет все единицы продукции у участника с оптимальным предложением, а затем определит чье предложение будет удовлетворено следующим. Аналогично задается оптимальное предложение на покупку:

 Bp = min(k), 0 p  N

Рынок продолжит удовлетворять предложения участников до тех пор, пока количество продукции, которое закупает(продает) рынок больше нуля.

       Предложенная система была модифицирована из игры “Менеджмент” [1], предложенная компанией Avalon Hill.

       Для решения задачи прогнозирования и коррекции цены продажи может быть использован линеаризованный фильтр Калмана.

       Рассмотрим полное вероятностное пространство с фильтрацией , -измеримый случайный вектор  -согласованные последовательности независимых случайных векторов  (  независимы в совокупности). Рассмотрим стохастическую динамическую систему наблюдения с дискретным временем вида

называется стохастической динамической системой наблюдения с дискретным временем. Здесь

  • Первое уравнение – уравнение динамики,
  • Второе уравнение – модель наблюдений,
  • – ненаблюдаемое состояние системы;  – дискретный снос и диффузия в динамике;  – последовательность случайных векторов – возмущений в динамике;  – начальное условие;
  • – процесс доступных наблюдений;  – аддитивный полезный сигнал и интенсивность шумов;  – последовательность ошибок наблюдений,
  • Все условия динамической системы с дискретным временем выполнены для заданной модели.

Пусть  – -алгебра, порожденная наблюдениями, полученными на отрезке [1,T].

Выведем уравнения оптимальной фильтрации при некоторых дополнительных предположениях.

  1. Матрицы и  являются невырожденными.
  2. – последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов с плотностью распределения .
  3. – последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов с плотностью распределения .
  4. Начальное условие имеет плотность распределения .
  5. , и  независимы в совокупности.

Вывод рекуррентных соотношений фильтрации основан на свойстве условной плотности распределения:

Вывод уравнений осуществляется методом математической индукции. Будем обозначать   – условная плотность распределения состояния  относительно  (плотность оценки фильтрации).

  1. t = 0. В этом случае:

– формулы для вычисления начального условия.

  1. Пусть для момента времени известны плотность оценки фильтрации   состояния  относительно  и соответствующая оценка фильтрации . Тогда плотность  состояния  относительно  (плотность распределения одношагового прогноза) определяется формулой:
  2. Условная совместная плотность распределения пары   относительно  принимает вид:

Тогда плотность оценки фильтрации на шаге t равна:

а искомая оценка оптимальной фильтрации:

Задача оптимальной фильтрации заключается в построении , однако реализация соответствующих формул является достаточно сложной вычислительной задачей.

Об уравнениях имеется следующая дополнительная информация:

  1. Функции , непрерывно дифференцируемы по ,
  2. Известна некоторая опорная траектория состояния , в окрестности которой располагается истинная траектория системы .

Разложим уравнения в окрестности  в ряд Тейлора:

и исключим из рассмотрения слагаемые более высоких порядков  и . Тогда уравнения заменяются своим линейными приближениями:

Линеаризованный фильтр Калмана – фильтр Калмана, примененный к линеаризованной системе наблюдения:

  1. Начальное условие:

 

  1. Прогноз:

 

  1. Коррекция:

Выбор «удачной» опорной траектории  является ключевым фактором, влияющим на точность оценок фильтрации.

Важнейшим для понимания работы всех нелинейных фильтров Калмановской структуры, в том числе линеаризованного фильтра Калмана является тот факт, что  – не матрица ковариации ошибки прогноза, и  – не матрица ковариации ошибки оценки фильтрации. Это лишь некоторые их приближения, оценки.

Предложенный алгоритм линеаризованного фильтра Калмана взят из книги “Теория оценивания и ее применение в связи и управлении” [2].

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

 

 

Ч. Уэзерелл. Этюды для программистов. пер. с английского. М.: Мир, 1982

Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении, М.: Связь, 1976.

 

Nikonov M.V.

Student

Lomonosov Moscow State University

(Moscow, Russia)

 

KALMAN FILTER IN THE PROBLEMS

OF PREDICTION AND PRICE CORRECTION

ON FINANCIAL MARKETS

 

Abstract: this article examines the features of the linearized Kalman filter using the example of a modified mathematical model of financial exchanges based on the game "Management".

 

Keywords: Kalman filter, modeling, financial markets.

  


Полная версия статьи PDF

Номер журнала Вестник науки №12 (45) том 1

  


Ссылка для цитирования:

Никонов М.В. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА В ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗА И КОРРЕКЦИИ ЦЕН НА ФИНАНСОВЫХ БИРЖАХ // Вестник науки №12 (45) том 1. С. 145 - 151. 2021 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/4981 (дата обращения: 02.11.2024 г.)


Альтернативная ссылка латинскими символами: vestnik-nauki.com/article/4981



Нашли грубую ошибку (плагиат, фальсифицированные данные или иные нарушения научно-издательской этики) ?
- напишите письмо в редакцию журнала: zhurnal@vestnik-nauki.com


Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2021.    16+




* В выпусках журнала могут упоминаться организации (Meta, Facebook, Instagram) в отношении которых судом принято вступившее в законную силу решение о ликвидации или запрете деятельности по основаниям, предусмотренным Федеральным законом от 25 июля 2002 года № 114-ФЗ 'О противодействии экстремистской деятельности' (далее - Федеральный закон 'О противодействии экстремистской деятельности'), или об организации, включенной в опубликованный единый федеральный список организаций, в том числе иностранных и международных организаций, признанных в соответствии с законодательством Российской Федерации террористическими, без указания на то, что соответствующее общественное объединение или иная организация ликвидированы или их деятельность запрещена.