'
Научный журнал «Вестник науки»

Режим работы с 09:00 по 23:00

zhurnal@vestnik-nauki.com

Информационное письмо

  1. Главная
  2. Архив
  3. Вестник науки №11 (56) том 3
  4. Научная статья № 41

Просмотры  78 просмотров

Брякова В.В., Мурзина Н.В.

  


ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ КРАСОК *

  


Аннотация:
одной из задач картографов при составлении географических карт является использование меньшего количества цветов. При этом страны, имеющие общую часть границы, должны быть окрашены разными цветами. Целью этой работы является изучение проблемы четырех красок, а также истории её появления. Объект исследования – проблема четырех красок. Предмет исследования – история возникновения проблемы, попытки её доказательства   

Ключевые слова:
проблема четырех красок, Френсис Гутри, доказательство теории четырех красок, первое компьютерное доказательство в математике, логическая игра «Четыре краски»   


УДК 51

Брякова В.В.

студентка 2 курса, направление «Финансы»

Шадринский финансово-экономический колледж

– филиал Финуниверситета

(г. Шадринск, Россия)

 

Научный руководитель:

Мурзина Н.В.

преподаватель математики

Шадринского финансово-экономического колледжа

– филиала Финуниверситета

 

ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ КРАСОК

 

Аннотация: одной из задач картографов при составлении географических карт является использование меньшего количества цветов. При этом страны, имеющие общую часть границы, должны быть окрашены разными цветами. Целью этой работы является изучение проблемы четырех красок, а также истории её появления. Объект исследования – проблема четырех красок. Предмет исследования – история возникновения проблемы, попытки её доказательства.

 

Ключевые слова: проблема четырех красок, Френсис Гутри, доказательство теории четырех красок, первое компьютерное доказательство в математике, логическая игра «Четыре краски».

 

В 1852 году студент Френсис Гутри при раскрашивании карты Британии выдвинул предположение, что любую карту возможно раскрасить, используя только четыре цвета, при условии, чтобы никакие две рядом расположенные страны (имеющие общую границу) не оказались окрашенными одним цветом. Он обратил внимание на проблему четырех красок своего преподавателя Августа де Моргана. Так эта проблема дошла до математической общественности, а точную формулировку гипотезы опубликовал в 1878 году другой английский математик А. Кэли: всякую ли расположенную на сфере карту можно раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета.

В 1879 г. в первом томе «Трудов Королевского географического общества» была опубликована статья выдающегося британского математика Альфреда Кэмпе, в которой содержалось предположение о том, что соблюсти все необходимые условия при раскрашивании любой географической карты возможно, используя для этого лишь 4 краски. Это предположение автор статьи достаточно весомо доказывал, применяя внушительные аргументы и вычисления. [2] Но через одиннадцать лет Перси Джон Хивуд обнаружил в нем ошибку, но извлёк из него важное, доказав, что для раскраски любой карты, даже самой сложной конфигурации, достаточно пяти красок. [4]

Доказательство Альфреда Кэмпе было опровергнуто в 1880 г., а предложенное в этом же году Питером Тэтом иное доказательство было также успешно опровергнуто в 1891 г. После неудачных попыток доказать гипотезу для любого числа стран, математики решили доказать её, начиная с малых натуральных чисел.  Так П. Франклин в 1913 году доказал гипотезу для карты, в которой не более чем 25 стран, со временем он увеличил это число до 38. С увеличением числа стран всё больше растет и число различных вариантов их взаимного расположения, и число вариантов для раскраски карты. Проблема всё больше становилась нерешаемой.

Российский математик и инженер, профессор Вячеслав Афанасьевич Горбатов в своей книге, которая вышла в 1964 г. предложил своё классическое доказательство теории четырех красок, занявшее около 30 страниц. Но, по неизвестным причинам, оно прошло незамеченным и не встретило ни подтверждений, ни опровержений. [2]

    В 1976 году американскими учеными К. Аппелем и В. Хакеном было получено первое машинное решение. С помощью машины они просматривали различные типы карт, и для каждого из них машина решала, может ли в данном типе найтись карта, которая не раскрашивается в четыре цвета. Учеными было просмотрено почти 2000 типов карт, и для всех был получен ответ: «Нет», – что и позволило объявить о машинном решении проблемы четырех красок.

    Это доказательство, впервые в математике полученное с помощью компьютера, получило широчайшее признание. Оставались, конечно, отдельные скептики, противившиеся тому, что такое решение не может быть проверено вручную. Возможно, именно поэтому в 1997 г. группа американских ученых предложила новое, более простое доказательство. Впрочем, идеи были аналогичны, а главным помощником исследователей по-прежнему был компьютер. В 2005 г. доказательство снова подтвердилось Джорджсом Гонтиром, который использовал для этого специализированное программное обеспечение.

    Таким образом, на данный момент имеется доказательство только с использованием компьютера, на различных примерах карт, но строгого математического доказательства нет. [1, c.91-92]

Отсутствие доказательства для проблемы четырех красок на плоскости становится еще удивительнее, если учесть, что аналогичные проблемы решены для более сложных поверхностей (при рассмотрении проблемы четырех красок поверхность сферы не отличается от плоскости: любую карту на сфере можно превратить в эквивалентную карту на плоскости, сферу проколоть в точке, лежащей внутри любой области, а затем растянуть на плоскости). Для раскраски односторонних поверхностей, таких, как лист Мёбиуса, бутылка Клейна и проективная плоскость, необходимо и достаточно шести красок. Для раскраски карты на поверхности тора, или бублика, число красок должно быть равно семи.

Проблема раскраски карты по сути дела решена для всех сколько-нибудь серьезно изученных сложных поверхностей, но стоит лишь взять поверхность, топологически эквивалентную плоскости или сфере, как решение проблемы ускользает. Хуже всего, что всякие видимые причины, объясняющие, почему так происходит, отсутствуют. Все предпринятые попытки, казалось, гарантировали успех, и лишь на самом последнем этапе, когда цепочка рассуждений вот-вот должна была замкнуться, обнаруживался досадный просчет. [3]

Стивен Барр придумал логическую игру для двоих, которую назвали «Четыре краски». Берётся чистый лист бумаги и четыре цветных карандаша. Первый игрок рисует пустую область на листе и передает ход второму. Соперник раскрашивает её, используя один из четырёх цветов, и рисует другую пустую область рядом. При этом области, имеющие общую границу, должны быть раскрашены в разные цвета. Первый также закрашивает область соперника и рисует свою пустую, и так далее.  Проигрывает тот, кому приходится взять во время своего хода пятый цвет. Проигрыш не означает, что теорема не верна, а лишь демонстрирует, как было трудно её доказывать, и что условия игры и теоремы разнятся.

Существуют также и другие вариации игры:

  1. Карта заранее разбивается на области разной величины случайным образом. Соперники ходят по очереди, закрашивая области, также должен меняться цвет (в строгой последовательности). Таким образом, каждый игрок закрашивает карту лишь двумя цветами. Если невозможно сделать так, чтобы области, имеющие общую границу, были раскрашены в разные цвета, игрок пропускает ход. Игра прекращается, когда никто не может больше сделать ход. А выигрывает тот, у кого общая площадь областей, закрашенных им, больше.
  2. Квадрат разбит на несколько квадратов, а его стороны раскрашены в одну из четырех красок (каждая в разный цвет). Первым ходом закрашивается квадрат, прилегающий к стороне. В последующие ходы можно раскрашивать тот квадрат, который прилегает к закрашенному. Нельзя раскрашивать так, чтобы рядом расположенные квадраты, в том числе и по диагонали, были одного цвета. Выигрывает игрок, который делает последний ход.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

 

Бережной В. Дискретная математика: учебное пособие (курс лекций): учебное пособие / Бережной В., В., Шапошников А., В.  — Ставрополь: Северо-Кавказский федеральный университет, 2016. — 199 с.

Иванова В. В. «Теорема о четырех красках»: исследовательская работа [Электронный ресурс]. URL: https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-teorema-o-chetireh-kraskah-klass-305750.html

Проблема четырех красок/ математические головоломки и развлечения [Электронный ресурс]. URL:http://www.razlib.ru/matematika/matematicheskie_golovolomki_i_razvlechenija/p45.php

Украйченко А. «Введение в топологию. Проблема четырёх красок» [Электронный ресурс].  URL: https://proza.ru/2016/01/30/2342

 

Bryakova V.V.

2nd year student, special. "Finance"

Shadrinsk College of Finance and Economics –

branch of the Financial University

(Shadrinsk, Russia)

 

Scientific advisor:

Murzina N.V.

mathematics teacher of Shadrinsky Financial and Economic College –

branch of the Financial University

 

THE PROBLEM OF FOUR COLORS

 

Abstract: one of the tasks of cartographers when making geographical maps is to use fewer colors. At the same time, countries with a common part of the border should be painted in different colors. The purpose of this work is to study the problem of four colors, as well as the history of its appearance. The object of research is the problem of four colors. The subject of the study is the history of the problem, attempts to prove it.

 

Keywords: problem of four colors, Francis Guthrie, proof of theory of four colors, first computer proof in mathematics, logic game Four colors.

  


Полная версия статьи PDF

Номер журнала Вестник науки №11 (56) том 3

  


Ссылка для цитирования:

Брякова В.В., Мурзина Н.В. ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ КРАСОК // Вестник науки №11 (56) том 3. С. 222 - 226. 2022 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/6506 (дата обращения: 25.02.2024 г.)


Альтернативная ссылка латинскими символами: vestnik-nauki.com/article/6506



Нашли грубую ошибку (плагиат, фальсифицированные данные или иные нарушения научно-издательской этики) ?
- напишите письмо в редакцию журнала: zhurnal@vestnik-nauki.com


Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2022.    16+




* В выпусках журнала могут упоминаться организации (Meta, Facebook, Instagram) в отношении которых судом принято вступившее в законную силу решение о ликвидации или запрете деятельности по основаниям, предусмотренным Федеральным законом от 25 июля 2002 года № 114-ФЗ 'О противодействии экстремистской деятельности' (далее - Федеральный закон 'О противодействии экстремистской деятельности'), или об организации, включенной в опубликованный единый федеральный список организаций, в том числе иностранных и международных организаций, признанных в соответствии с законодательством Российской Федерации террористическими, без указания на то, что соответствующее общественное объединение или иная организация ликвидированы или их деятельность запрещена.