Агаев Э.Ч.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ *
Аннотация:
в данной статье рассматриваются современные взгляды дифференциальных исчисление функций одной переменной. Проведен перекрестный и сравнительный анализ влияния методик и различных факторов на развитие математики
Ключевые слова:
анализ, метод, образование, математика, наука
УДК 517
Агаев Э.Ч.
преподаватель кафедры «Информационные системы и технологии»
Туркменский государственный университет имени Махтумкули
(Туркменистан, г. Ашгабад)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Аннотация: в данной статье рассматриваются современные взгляды дифференциальных исчисление функций одной переменной. Проведен перекрестный и сравнительный анализ влияния методик и различных факторов на развитие математики.
Ключевые слова: анализ, метод, образование, математика, наука.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной - это раздел математического анализа, который изучает производные и дифференциалы функций одной переменной. Этот раздел математики имеет множество приложений в физике, экономике, инженерии и других областях.
Производная функции - это скорость изменения функции в каждой точке ее области определения. Она определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Производная функции может быть найдена с помощью формулы или правил дифференцирования.
Дифференциал функции - это приращение функции, которое может быть представлено в виде суммы произведений производной функции и приращения аргумента. Дифференциалы используются для нахождения приближенных значений функций и для решения задач оптимизации.
Основные понятия дифференциального исчисления включают производную функции, правила дифференцирования, производную обратной функции, производную функции, заданной параметрически, производную функции, заданной в неявном виде, дифференциал функции и приложения дифференциального исчисления.
Производная явной функции - это скорость изменения функции в каждой точке ее области определения. Она определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
Формально, если y=f(x) является функцией, то ее производная f'(x) определяется следующим образом:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Если этот предел существует, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, а значение предела f'(x) называется производной функции f(x) в точке x.
Геометрически производная явной функции в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Если производная положительна, то график функции возрастает в этой точке, если отрицательна - убывает, а если равна нулю - то функция имеет экстремум (минимум или максимум) в этой точке.
Производная явной функции играет важную роль в математическом анализе и находит применение в различных областях науки и техники, например, при решении задач оптимизации или при анализе движения тел.
Пример: Найти производную функции f(x) = x^2 + 3x - 2.
Решение: Используя определение производной, получим:
f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h= lim(h->0) ((x+h)^2 + 3(x+h) - 2 - (x^2 + 3x - 2))/h= lim(h->0) (2xh + h^2 + 3h)/h= lim(h->0) (2x + h + 3)= 2x + 3
Таким образом, производная функции f(x) равна f'(x) = 2x + 3.
Производная обратной функции может быть найдена с помощью формулы:
(f^-1)'(y) = 1/f'(x), где x = f^-1(y).
Пример: Найти производную обратной функции для функции f(x) = 3x^2 - 2.
Решение: Сначала найдем производную функции f(x):
f'(x) = 6x
Затем найдем обратную функцию для f(x): y = 3x^2 - 2
x = sqrt((y+2)/3)
f^-1(y) = sqrt((y+2)/3)
Теперь найдем производную обратной функции:
(f^-1)'(y) = 1/f'(x), где x = f^-1(y)= 1/6x= 1/6sqrt((y+2)/3)
Таким образом, производная обратной функции для f(x) равна (f^-1)'(y) = 1/6sqrt((y+2)/3).
Для нахождения производной функции, заданной параметрически, необходимо применить правило дифференцирования сложной функции.
Пусть функция задана параметрически как x=x(t), y=y(t). Тогда производная функции по t определяется следующим образом:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}.
Это соотношение вытекает из правила дифференцирования сложной функции для функции y=f(x), где x=x(t) и y=y(t):
\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Таким образом, если мы знаем функции x=x(t) и y=y(t), то можем вычислить производную функции по t и затем подставить значения производных в формулу выше.
Геометрически производная функции, заданной параметрически, определяет угловой коэффициент касательной к кривой, заданной параметрически, в точке (x(t_0),y(t_0)). Если производная положительна, то кривая движется в направлении возрастания y при увеличении x, если отрицательна - в направлении убывания, а если равна нулю - то кривая имеет экстремум в этой точке.
Производная функции, заданной параметрически, также находит применение в различных областях науки и техники, например, при описании движения объектов в физике или при анализе динамики процессов в экономике.
Пример: Найти производную для функции, заданной параметрически x = t^2 + 1, y = t^3 - t.
Решение: Используя правило дифференцирования сложной функции, получим:
dy/dx = dy/dt / dx/dt= (3t^2 - 1) / (2t)
Таким образом, производная функции, заданной параметрически равна dy/dx = (3t^2 - 1) / (2t).
Производная функции, заданной в неявном виде, может быть найдена с помощью правила дифференцирования неявной функции.
Пример: Найти производную для функции, заданной в неявном виде x^2 + y^2 = 25.
Решение: Используя правило дифференцирования неявной функции, получим:
2x + 2y(dy/dx) = 0
dy/dx = -x/y
Таким образом, производная функции, заданной в неявном виде равна dy/dx = -x/y.
Производные и дифференциалы функций одной переменной имеют широкое применение в решении задач оптимизации, моделировании физических процессов, анализе экономических данных и других областях. Они также являются важным инструментом для изучения свойств функций и их поведения в различных точках и интервалах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
Номер журнала Вестник науки №5 (62) том 2
Ссылка для цитирования:
Агаев Э.Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ // Вестник науки №5 (62) том 2. С. 455 - 459. 2023 г. ISSN 2712-8849 // Электронный ресурс: https://www.вестник-науки.рф/article/8153 (дата обращения: 26.04.2024 г.)
Вестник науки СМИ ЭЛ № ФС 77 - 84401 © 2023. 16+